آشنایی با مبحث مثلثات

آشنایی با مبحث مثلثات

 

مطالعه روی زوایا و روابط موجود میان زوایای اشکال مسطح و سه بعدی مثلثات نامیده می‌شود.تابع مثلثاتی از قبیل سینوس و کسینوس توابعی هستند که بوسیله روابط هندسی تعریف می‌شوند.

 

تاریخچه

اولین کسانی که از مثلثات استفاده می‌کردند یونانیان بودند.در یونان قدیم از مثلثات برای تعیین طول مدت روز یا طول سال (با مشخص کردن موقعیت ستارگان در آسمان)استفاده می‌شد.بعدها ریاضیدانان و منجمان هندی نیز پیشرفت‌هایی در مثلثات بدست آوردند ولی پیشرفت این علم مدیون دانشمندان مسلمان است .مسلمانان اصلی‌ترین نقش را در پیشرفت این علم ایفا کردند و سپس این اندوخته‌ها را در قرون وسطی به اروپاییان منتقل کردند. اروپاییان نیز دانش فراوان مسلمانان در مثلثات استفاده کردند و این علم را توسعه داده و به شکل امروزی در آوردند.

کاربردها

علم مثلثات در نجوم کاربرد فراوانی دارد و ازآن برای اندازه‌‌گیری فواصل بین ستارگان استفاده می‌شود. همچنین در طراحی سیستم‌های ماهواره ای از مثلثات استفاده فراوانی می‌شود.در دریانوردی نیز از مثلثات برای تشخیص جهت‌های جغرافیایی کمک گرفته می‌شود.امروزه از مثلثات در شاخه های مختلف فیزیک ماننداپتیک ، اکوستیک ، در تحلیل بازارهای مالی، الکترونیک ، معماری ، اقیانوس شناسی ، مکانیک ، بلور شناسی ، ژئودزی ، عمران و اقتصاد استفاده فراوانی می‌شود

دایره مثلثاتی

در ریاضیات دایره مثلثاتی دایره‌ای به شعاع واحد است. x و y دو مختصه روی این دایره هستند که بنا به تعریف دایره:

x2 + y2 = 1

نقطه (x, y) روی این دایره با (۰, ۰) زاویه‌ای می‌سازد که از روابط زیر بدست می‌آید:

دایره مثلثاتی با نمایش زاویه t در نقطه (x, y)

بنابر این خواهیم داشت:

و از آنجا که توابع سینوس و کسینوس دوره‌ای (پریودیک) هستند:

که در آن k عددی صحیح است. سایر توابع مثلثاتی نظیر تانژانت و کتانژانت و سکانت و کسکانت را می‌توان به همین ترتیب بدست آورد.

فرمول‌های مهم مثلثات

فرمول های مهم مثلثات برای تبدیل و محاسبه

 

ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ

(فرمول طلایی)

ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ

(تبدیل ضرب به جمع)

ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ

(تبدیل جمع به ضرب)

ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ

نسبت های مثلثاتی بر حسب

ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــــــ ـــــــــــــــــــــ

فرمول کاشانی که در هر مثلثی صدق می‌کند:

قانون کسینوس‌ها

در مثلثات قانون کسینوس‌ که به نام‌ قانون کاشانی هم شناخته می‌شود و در مورد هر نوع مثلثی صدق می‌کند به این شکل است:

نسبت های مثلثاتی

سینوس یکی از نسبت‌های مثلثاتی است.

تعریف
در مثلث قائم‌الزاویه نسبت ضلع مقابل هر زاویه حاده به وتر را سینوس آن زاویه می‌نامند.
سینوس را در متن‌های عربی و فارسی قدیم «جیب» می‌نامیدند.
طبق تعریف بالا در مثلث زیر داریم:

تابع سینوس
تابع سینوس تابعی است که مقدار کمان (زاویه) را به عنوان متغیر می‌پذیرد و اندازه سینوس زاویه را به ما می‌دهد. دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی بوده و برد آن بازه [۱,۱ − ] است. شکل تابع f(x) = sinx گویاست که این تابع متناوب و فرد بوده و دوره تناوب آن ۲π می‌باشد.

………………………………………….. ………………..

کسینوس
کسینوس یکی از نسبت‌های مثلثاتی است. اصطلاح قدیمی این نسبت در ریاضیات و اخترشناسی قدیم جیب تمام بوده‌است.

تعریف
در مثلث قائم‌الزاویه نسبت ضلع مجاور هر زاویه حاده به وتر را کسینوس آن زاویه می‌نامند.
با توجه به تعریف سینوس در مثلث ABC خواهیم داشت:

می‌دانیم که زوایای B و C متمم یکدیگرند .

پس داریم:

تغییرات کسینوس
اگر به هنگام گردش در دایره مثلثاتی از زاویه صفر شروع کرده و یک دور کامل در جهت مثبت بگردیم، تغییرات کسینوس زوایا بدین صورت خواهد بود:

تابع کسینوس
تابع کسینوس تابعی است که مقدار کمان (زاویه) را به عنوان متغیر می‌پذیرد و اندازه کسینوس زاویه را به ما می‌دهد. دامنه این تابع تمام اعداد حقیقی بوده و برد آن بازه [۱,۱ − ] است. شکل تابع f(x) = cosx گویاست که این تابع متناوب بوده و دوره تناوب آن ۲π می‌باشد. تابع کسینوس تابعی زوج می‌باشد.

………………………………………….. ……………………………

تانژانت
تانژانت، یکی از نسبت‌های مثلثاتی است.

تاریخچه
ظل (از عربی، به معنای سایه) اصطلاحی است که در گذشته در متن‌های اسلامی و ایرانی برای تانژانت در ریاضیات و اخترشناسی به‌کار می‌رفت.
ستاره‌شناسی به نام حبش‌بن حاسب اولین بار در قرن سوم هجری قمری (قرن نهم میلادی) این نسبت مثلثاتی را به کار برد. در گذشته به آن ظل می‌گفتند.
تعریف
تانژانت در مثلث قائم‌الزاویه چنین تعریف می‌شود؛ نسبت ضلع مقابل هر زاویه حاده به ضلع مجاور آن.

تابع تانژانت
 این تابع:

* پیوسته نیست.
* متناوب است (با دوره تناوب π).
* دارای بینهایت مجانب عمودی است.

شیب خط
در نمودار‌هایی که شکل یک تابع را نشان می‌دهند شیب نمودار (یا خط مماس بر نمودار) در هر نقطه برابر است با تانژانت زاویه‌ای که خط مماس بر آن نقطه از منحنی، با جهت مثبت محور افقی (محور xها) می‌سازد.


………………………………………….. ……………………

.

کتانژانت

کتانژانت، یکی از نسبت‌های مثلثاتی است که در ریاضیات و اخترشناسی کاربرد فراوان دارد و در گذشته به آن ظل تمام می‌گفتند.

این نسبت مثلثاتی چنین تعریف می‌شود: نسبت ضلع مجاور به زاویه حاده، به ضلع مقابل آن در مثلث قائم‌الزاویه.

چند نکته کلیدی که برای انتخاب رشته باید رعایت کنید!

 

چند نکته کلیدی که برای انتخاب رشته باید رعایت کنید!

صدها هزار راهیان دانشگاه پس از پذیرفته شدن در آزمون سراسري در مرحله مهم انتخاب رشته تحصیلی قرار دارند. این مرحله هم حساس است و هم مهم. همچنین اقدام در این مرحله در معرض آسیبهایی است که بی تفاوتی و بی اطلاعی نسبت به آنها می تواند آینده و توانایی جوانان را تحت تاثیر منفی قرار دهد. همچنانکه مواجهه درست، سنجیده منطقی و مدبرانه با این مرحله می تواند نویدبخش آینده و راهی مطمئن و کم دغدغه براي آنها باشد

۱-انتخاب رشته تحصیلی “حساس” است. زیرا کوچکترین اشتباه، بی تدبیري، جو زدگی و برخورد و تصمیم گیري از سر احساس میتواند آرزوها و آمال فرد را دچار تهدید و ناکامی سازد

٢ – این مرحله، “حساس” است زیرا در طی آن فرد داوطلب باید میزان “علاقه و توانایی” خود براي ورود در رشته هاي مختلف دانشگاه را به درستی و دقت بسنجد و تصمیمی منطبق بر واقعیات و متناسب با توانایی و علاقه خود بگیرد. در نظر داشتن علاقه صرف، بدون توجه به میزان توانایی و استعداد، می تواند فرد داوطلب را در انتخاب مسیر آینده تحصیلی و حتی کاري اش با مشکل مواجه سازد. این حساس و مهم بودن مرحله انتخاب رشته، اقتضا می کند تا داوطلبان ورود به دانشگاه با حوصله، دقت، مطالعه و استفاده از تجارب و مشورت افراد امین و مطلع به عبور موفق از این مرحله بپردازند.لذا توجه به نكات ذيل را بسيار ضروري مي داند:

۱٫ قبل از انتخاب رشته با خانواده و مشاوران آگاه مشورت کنید.

۲٫ در انتخاب رشته با توجه به استعداد، توانایی، علاقه و شناخت خود، خودتان تصمیم آگاهانه بگیرید، زیرا ممکن است تغییر یا انتقال رشته براي شما مقدور نباشد ، قبل ازانتخاب رشته در باره موقعیت جغرافیایی و جایگاه علمی دانشگاه و رشته مورد نظر خود مطالعه و بررسی لازم را انجام دهید.

۳٫   دفترچه راهنماي انتخاب رشته را خودتان به دقت مطالعه کنید و هنگام دریافت برگه انتخاب رشته به اطلاعیه ها و نکاتی که سازمان سنجش یا دانشگاه ها در مورد ظرفیت و شرایط پذیرش منتشر می کنند توجه نمایید.

۴٫   براساس نمره و رتبه خود انتخاب رشته نمایید زیرا انتظار بالاي شما ممکن است باعث از دست دادن موقعیت هاي دیگر باشد که در آینده به راحتی نتوانید بدست آورید.

۵٫ هرگز به انتخاب رشته کامپیوتري اکتفا نکنید زیرا کامپیوتر نمی تواند استعداد، علاقه و شخصیت شما را در نظر بگیرد. اما می توانید از انتخاب رشته کامپیوتري به عنوان راهنما کمک بگیرید.

اهمیت داشتن هدف

اهمیت داشتن هدف

 

برای آن کس  که ایمان دارد، ناممکن وجود ندارد!

انسان های موفق در تاریکترین ابرها، دنبال روزنه‌ای روشنایی می‌گردند.

اگر هدف به قدر کافی بزرگ باشد رسیدن به آن آسانتر می‌شود زیرا هدف بزرگ ، هیجان بیشتری ایجاد می‌کند.